伽利略说可以用对数来创造整个宇宙,对数有这么重要?

我国元代天文学家,数学家郭守敬计算了一个地球年为365.2425天,这个结果与现代天文学测算仅相差26秒。

天文学自古有之,从天文观测开始,就与计算密不可分。我国元代天文学家,数学家郭守敬计算了一个地球年为365.2425天,这个结果与现代天文学测算仅相差26秒,在那个仅靠肉眼观测和算筹计算的时代就可以得到这样的结果,真是让人叹为观止!

伽利略说可以用对数来创造整个宇宙,对数有这么重要?

我国古代著名天文学家 数学家 郭守敬

大约文艺复兴时期,欧洲近代科学开始起步,天文学的发展也走上了高速轨道,丹麦天文学家第谷通过肉眼观测留下了海量的极为精准的观测数据,这些数据也为他的学生开普勒发现行星运行三大定律做了数据基础。望远镜诞生之后,伽利略用自己发明的望远镜观测到木星有4颗卫星,并且发现了土星环。

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近代物理学先驱 伽利略

然而仅仅通过观测是很难揭露出星体运行的本质的,了解万有引力定律的同学都知道,如果想计算行星的质量,则必须要先得到两个星体之间的距离。在那个没有任何计算工具的时代,人们只能从海量的观测数据里去寻找,然后计算,这里的计算可不止是加减乘除或者开方什么的运算。在计算行星周期的时候,就必须要在不同季节,不同位置采集大量数据,通过这些数据之间的内在关系,推导出周期的大概数值,再通过理论计算的数值,与实际采样点的观测结果比较,如果误差极小,那么就说明就已经从理论上算出了这个行星的运动规律。知道了运行规律之后,天文学家们就可以预言这个星体的某些天象。

现在我们都可以通过很多公式来推算太阳系的行星运动规律,在500年前,问题可大不一样。往往天文学家观测星体运动只要一个月,然后分析计算数据却要好几年。我们通常都把很大的数字叫作天文数字,顾名思义,但凡涉及到天文学方面的计算,数量级通常都大得惊人,如果对于这么大的数据来进行多次乘方,开方运算,可想而知,这样的工作量该有多恐怖。所以那个时代的天文学家其实更加像是星象观测者和计算工作者。

天文学家们很期待,可以发明出一种简化计算法来代替那些复杂枯燥的大数值计算。

很快一位叫纳皮尔的男爵做了这项工作,1550年,纳皮尔出生在苏格兰,是一位神学家,同时也精通数字计算。纳皮尔兴趣在球面三角学的有关计算,而球面三角学又跟天文学密切相关。

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纳皮尔男爵与《奇妙的对数定理说明书》

纳皮尔的对数思想来自下面的两组数列:

  • 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10...
  • 1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024...

假设我们现在要去算16×512,按照传统的方法,那就只能从表面直接去计算,毫无疑问,这样的计算繁杂不堪(当然实际上基本不会出现这样浅显的“繁杂计算”)。纳皮尔注意到,上下两个数列的关系,容易看出16=2^4 ,512=2^9 ,因此16×512=2^4×2^9=2^13 ,于是,我就只要在第二个数列中找出第一列中13对应的那个数字就行了。纳皮尔把第一个数列就叫作对数,在纳皮尔那个时代还没指数的概念,指数和对数的互逆性质一直到18世纪的欧拉才发现。但是他的这种简化计算的思想跟现在完全相同,只不过那个时候“底”这个概念也是缺乏的。我们现在很清楚了,纳皮尔实际上是发现了计算规则

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1594年,纳皮尔对于对数的思想正式萌芽,经过20年的研究,1614年,他将自己研究成果写作成著作《奇妙的对数定理说明书》一书,书中系统阐述了对数的理论知识,同时附上了一套正弦对数表。此书一出,立刻引起轰然大波,最为惊喜的当然是痛苦的天文学界。对数问世之后,伦敦的一位数学教授布立格斯最先意识到对数的划时代意义,绝不仅仅只是为了简化天文学方面的计算,在纯数学上更是有着极大的普适性。于是,他在1616年拜访了纳皮尔,建议纳皮尔编写以10为底的对数表,以10为底将会更加简化计算,那个时代已经有了十进制的科学计数法。两位数学家相见如故,纳皮尔很快就接受了布里格斯的建议。可惜,事与愿违,纳皮尔在第二年就去世了,以10为底的对数表就这样搁置了。于是,布里格斯教授继承了纳皮尔的遗志,穷尽7年时光,造出了以10 为底的1到20000,90000到100000之间的对数表,剩下的20000—90000之间的数据,在1628年由荷兰数学家佛拉格补充完全。于是,现在我们用的对数表就这样完全诞生了。一直到21世纪初,中学的教材里都会附加一本《常用对数表》。

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近代天文学先驱 开普勒

开普勒也几乎在同时代发现了三大行星运动定律。牛顿说“他的成就是站在巨人的肩膀上得到的”,开普勒绝对算是这些巨人之中的一个。开普勒在获得第谷完整的观测数据之后,经过6年的大量计算得到了第一,第二运行定律,又经过了9年的大量计算才获得了第三运动定律。在此之前,开普勒已经知道

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数学上的直觉让他认为,公转周期和太阳距离之间一定存在着某种关系,这些看似毫不相干的数据内在肯定存在一条普遍成立的规律。开普勒对这些数据进行过数不尽的腾挪变换,始终得不到一个完整的定律。就在无穷无尽的计算之海中,开普勒看到了纳皮尔的对数理论,于是他开启了一段新的思路。他对这周期和太阳距离做了下面的变换:

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这里的T^2 ,R^3 吻合得令人咋舌,让人不得不相信这样的内在关系,于是开普勒第三运动定律终于诞生。

现在我们知道,即使在没有第谷的任何观测数据的情况下,用微分方程来分析,就可以从理论上直接推导出三大行星运行定律。但是当时的数学工具匮乏,即使是像开普勒这样精于计算的数学大神也要花费20年才能得出最终的结论。现在看来,假如没有纳皮尔对数的思想来启发开普勒,可能第三定律还要困住他很久很久。

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永恒的行星运动

至此,对数对于现代科学的影响已经不仅仅是在天文学上,也扩散到了几乎所有的自然科学领域,计算上获得了巨大的改进,节省下来的时间足以让人们做更多的探索。

伽利略说:“给我时间,空间和对数,我就可以创造出整个宇宙。”这当然是夸张的说法, 也从侧面说明,对数的发展是多么地及时有效。恩格斯更是把解析坐标系,对数,微积分作为17世纪数学界最伟大的发明。

纵观整个数学的发展史,通常里程碑式的发展都是因为重大工具的发明引起的。比如对数,微积分的发明。在这些工具出现之前,人们去一个远方就只能步行过去,快的人要有一个月,慢的人甚至要一年,这些工具出现之后,人们才开始坐上了汽车,火车,甚至飞机,将之前的望山兴叹,望洋兴叹通通变成了坦荡征途。

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